本日で暦の夏は終わる。猛暑の夏の締めに相応しく、35℃を上回った。脳味噌が泡立ちそうで思考力が心許ないが、偶には素数遊びをしよう。
日付けから行くと、本日は皇紀7桁表記の「2678831」が素数だ。この中の「8831」「31」も素数だ。
単純な「0」累桁法で「30…1」タイプの素数出現を探ってみた。( )内の数が素数の桁を示す：
(2)31,(4)3001, (8)30000001, (11)30000000001, (29)30000000000000000000000000001, (37),(68), (82), (148)3000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001,,,,,,
改めて桁数だけを並べて、順次、階差数列を下に書き込む：
２ 4 8 11 29 37 68 82 148
2 4 3 18 8 31 14 66
2 -1 13 -10 23 -17 52
-3 14 -23 33 -40 69
17 -37 56 -73 109
-54 93 -129 182
147 -222 311
-369 533
902
階差の層数が増すにつれて、数列の正負が交互に代ったり、各数の絶対値が単純に増加したりする傾向が現れる。定性的な規則性があるように見える。原数列が単調増加であることからの当然の結果だろうか。後で考えよう。
試みに、「30…1」をひっくり返した「10…3」タイプについて同じことを調べると、全く同じではないがほぼ類似の結果が得られた。素数の桁数だけを列記すれば次の通り：
2 3 6 7 12 18 19 40 57 102 106 108 124
この範囲で計算する限り、正負交代、絶対値増加は７次階差で定着する。